Logaritmos y Exponentes

Funcion exponencial base a con a positiva:

x=0

a=1

EJEMPLOS

EJERCICIOS:

PROPIEDADES
long a1=0
In 1=0
In(AB)=InA+InB
In (A/B)=InA-InB
InAr=rInA

Prueba de Consistencia

Un par de ecuaciones lineales en forma lineal

a1x+b1y=c1

a2x+b2y=c2

1. Tiene exactamente una solucion si .
   
2. Tiene un numero infinito de solucines si .


3. Y no tiene solucion si .

EJEMPLOS

*Determine si el sistema siguiente es constante o inconsistente. Si es consistente 1 o muchas soluciones:

a)3x-4y=7

5x+y=4

Consistente y tiene solo una solucion.

b)4x-3y=5

8x-6y=4

Inconsistente

c)2x+3y=10

4x+6y=20

Consistente y tiene infinito de soluciones.

d)6x+5y=11

3x-2y=1

Consistente y tiene una solucion.

Sistema de Ecuaciones Lineales

Un par de ecuaciones lineales:

L1 a1x+b1y=c1

L2 a2x+b2y=c2

Se denomina siatema 2x2 de ecuaciones lineales y se dice que el sistema esta escrito en forma normal o estandar. El conjunto solucion de este sistema es el conjunto de todos los pares ordenadados que son soluciones de ambas soluciones ejemplo:

x-4y=-8

3x-2y=6

4-4(3)=4-12=-8

3(4)-2(3)=12-6=6

(x=4)(y=3)

El sistema de ecuaciones lineales consta de:

1. Dos rectas que cortan exactamente en un punto.


2. Dos rectas coincidentes.
   
3. Dos rectas paralelas.

Ecuacion de Demanda

Una ecuacion de demanda o funcio de demanda expresa la demanda q, que es la cantidad de articulos demandando como una funcin del precio unitario P:

q=mx+b

• Interpretacion de m: la pendiente m, por lo general mide el cambio de la demanda por ejemplo si se mide en dlls y q en ventas mensuales si m=-400, entonces cada aumento da un dolar precio por aticulos causa una baja en ventas de 400 articulos por mes.
• Interpretacion de b: expresa la demanda y los articulos de la demanda.

Funcion de Oferta

Una ecuacionde oferta o funcion de oferta expresa la oferta que (cantidad de articulos que un proveedor desea vender.)

Como una funcion del precio unitario p una funcion lineal de oferta tiene demanda: q=mp+b y q=mp+b de oferta . Se dice que la oferta y la demanda estan en equilibrio cuando son iguales. Los valores corresponcientes de p se llaman Precio de Equilibrio y Demanda de Equilibrio respectivamente.

Para obtener el precio de equilibrio se iguala la demanda a la oferta y se despeja el precio unitario. Para obtener la demanda de equilibrio se evalua la demanda(o la oferta) con el precio de equilibrio.

Funciones de Costo

Una funcion de costo especifica el costo C como una funcion de la cantidad de articulos. Una funcion de costo de la formula C(x)=mx+b se llama FUNCION DE COSTO LINEAL la cantidad (mx) se llama COSTO VARIABLE, y la ordenada al origen (b)se llama COSTO FIJO:

C=mx+b

El ingreso que resulta de una o mas transacciones comerciales es el pago total del recibido cierre en el ingreso por vender, por articulo, entonces R es igual a mx y el precio de venta m se le llama ingresop marginal.

Si la utilidad es negativa se le denomina perdida. El equilibrio significa no tener utilidad o U. El punto de qeuilibrio es la cantidad de articulos en lo cual se presenta el equilibrio.

*/El gerente de una fabrica de refrigeradores observo que el lunes la emprea fabrico 30 refrigeradores a un costo de $25,000 dlls y el martes dfabrico 40 a un costo de $30,000. Encuentre la funcion de costo basandose en estos datos:

a)Cual es el costo fijo diario:
Cual es el costo marginal:
b)La empresa vende sus refrigeradores a 1,500 dlls;
c)Cual es la funcion de ingreso:
Cual es la funcion de utilidad:
Cuantos refrigeradores debe vender al dia para alcanzar
d)Grafica la fraccion costo y la funcion de ingreo y registra la funcion de perdida

C=mx+b
I=mx

Utilidad=Ingreso - Costo

O=U=I-C
I-C=O
I=C

y =25,000=500(x-30)

y=500(x-30)+25,000(30,25,000)
y=500x-15,000+25,000(40n,30n000)
C=500x+10,000

Costo Fijo =10,000
Costo Marginal =500
I=mx
I=1,500x

c)U=1,500x-(500x+10,00)

U=1,500x-500x-10,000
U=1,000x 10,000

I=C

1,500x=500x+10,000
1,500-500x=10,000
1,000x=10,000
x=10,000

Punto de (10,15,000)equilibrio

c=500(10)+10,000=15,000

Costo Fijo $1,200

Costo Marginal $1,500

Costo= Costo Variable +Costo Fijo

=Costo Marginal * Unidad +Coso fijo

=mx+b

a)CT=1,500X+1,200

c=1,500(3)+1,200

c=4,500+1,200

b)C=5,700

Ecuaciones de Rectas

1*Punto -Pendiente
y-y1=m(x-x1) P(x,y)
2*Ordenada al origen
y=mx+b
3*Ecuacion Normal

4*Ecuacion General

ax+by+c=0

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si m1=m2 perpendiculares si m1m2=-1 donde m1 es la pendiente de L1 y m2 la pendiente de L2.

Encontrar la ecuacion y la grafica de la recta que pasa por:

A*P(2,1) y Q(-3,2)

5{y-1=(x-2)}
5y-5=-(x+2)

5y-5=-x+2

x+5y-5-2=0

x+5y-7=0

B*P(-1,3) y Q(4,3)

5{y-3=-(x-1)}

5y-15=x+1
-x+5y-1-15=0

x+5y-20=0

C*P(1,1) y Q(-2,-1)

1{y-1=(x-1)}

y-1=-x-1
x+y-1+1=0

x+y=0

D*P(-3,3)y Q(1,4)

4{y-3=(x-3)}

4y-12=x-3

-x+4y-12+3=0

x+4y-9=0

Rectas

La pendiente m de la recta que pasa

por los puntos P(X,Y) y Q(X2, Y2)

se define como:

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

1*(2,1)(-3,2)

2*(4,5)(3,1)

3*(-2,-3)(5,-1)

4*(6,4)(-3,2)

5*(3,3)(2,5)

6*(-2,1)(5,5)